تبلیغات
اقتصاد بازرگانی - کاربردهای معادلات دیفرانسیل در اقتصاد
پنجشنبه 11 فروردین 1390

کاربردهای معادلات دیفرانسیل در اقتصاد

• نوشته شده توسط: ئاسو

کاربردهای معادلات دیفرانسیل در اقتصاد
معادلات دیفرانسیل در بسیاری از توابع اقتصادی کاربرد دارند. این معادلات در تعیین شرایط پایداری پویا برای تعادل بازار در مدل‌های اقتصاد خرد و نیز ردیابی مسیر زمانی تحت شرایط مختلف در اقتصاد کلان مورد استفاده قرار می‌گیرند. اگر نرخ رشد یک تابع مفروض باشد، اقتصاددانان قادرند، با استفاده از معادلات دیفرانسیل تابع مورد نظر را تعیین کنند. همچنین اگر کشش نقطه‌ای در دست باشد، می‌توان تابع تقاضا را برآورد کرد؛ معادلات دیفرانسیل، جهت برآورد توابع سرمایه از توابع سرمایه‌گذاری و همچنین برآورد توابع هزینه کل و درآمد کل از توابع هزینه نهایی و درآمد نهایی مورد استفاده قرار می‌گیرد.[4]
در این مدخل به شش کاربرد متمایز از معادلات در بخش‌های مختلف اقتصاد پرداخته‌ایم؛ گرچه ممکن است از یک راه حل در برخی کاربردها استفاده شده باشد. هدف از آوردن کاربردهای مختلف بیان اهمیت دیفرانسیل و گستره استفاده از آن در اقتصاد بوده است.


معادله فوق، به‌صورت یکی از معادلات خطی در آمده‌ است؛ لذا بر اساس روش حل معادله مورد نظر در ریاضی به حل آن می‌پردازیم. این معادله به روش معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول حل می‌گردد؛ که روش آن بدین صورت است:

صورت کلی معادله خطی مرتبه اول بدین صورت است:

اگر t=0 باشد، معادله به‌صورت زیر درمی‌آید:


چون
m مقداری ثابت و بزرگتر از صفر است، وقتی t به‌سمت بی‌نهایت میل می‌کند، تنها در صورتی‌که h-b>0 باشد، اولین جمله سمت راست، به‌سمت صفر میل می‌کند؛ بنابراین p(t) به‌سمت میل می‌کند. برای حالت‌های عادی که تقاضا دارای شیب منفی b<0 و عرضه دارای شیب مثبت h>0 است، شرایط پایداری پویا قابل حصول است. بازارهایی که در آن شیب توابع تقاضا مثبت یا شیب توابع عرضه منفی باشند، مادامی که h>0 است نیز به‌‌طور پویا پایدارند.[5]
مثلا؛ با فرض اینکه تقاضا برابر
D=80-4 و عرضه برابر با S=-10+2p باشند، نقطه تعادل را مشخص کنید و با فرض p0=18 و q0=8 تحقیق کنید که آیا تعادل پایدار است یا نه؟[6]

چون تقاضا دارای شیب منفی
b<0 یعنی b=-4 و عرضه دارای شیب مثبت h>0 یعنی h=2 است، شرایط پایداری پویا قابل حصول است.

کاربرد دوم؛ تابع تقاضای
Q=f(p) را در صورتی‌که کشش نقطه‌ای (e) برای همه p>0 برابر -k باشد؛ به‌دست آورید.
حل: می‌دانیم، کشش نقطه‌ای تقاضا برابر است با:

معادله فوق نیز به‌صورت یکی از معادلات خطی درآمده است؛ لذا براساس روش حل معادله مورد نظر در ریاضی به حل آن می‌پردازیم. این معادله دیفرانسیل، یک معادله دیفرانسیل جداست؛ با تفکیک متغیرها، آن‌را به‌صورت زیر می‌نویسیم:[7]

مثال عددی: تابع تقاضای
Q=f(p) را در صورتی‌که کشش نقطه‌ای تقاضا باشد و از نقطه p=2 و q=4 بگذرد.


شکل تابع یک هذلولی متساوی‌الساقین است. (نقطه چین در شکل به‌معنی منطقه غیر اقتصادی است).


کاربرد سوم؛ فرمولی برای محاسبه کل ارزش
p مبلغ وجه اولیه p(0) که به مدت t سال با نرخ بهره مرکب پیوسته i به مرابحه گذاشته شده است به این صورت به‌دست می‌آید:[8]

اگر
i برابر بهره مرکب پیوسته باشد،

کاربرد چهارم؛ شرایط پایداری یک مدل تعیین درآمد دو بخشی، که در آن
Ŷ، Î و Ĉ، به‌ترتیب انحراف مصرف، سرمایه‌گذاری و درآمد از مقادیر تعادلی Ye، Ieو Ce است را به‌دست می‌آوریم؛[9] یعنی =C(t)-CeĈ که در آن Ĉ (سی‌هت)، درآمد با نرخ متناسب با مازاد تقاضا C+I+Y تغییر می‌کند:

و نیز 0<
a,b,g<1 و (t)=bŶÎ و (t)=gŶĈ

با تفکیک متغیرها و انتگرال‌گیری داریم:

چون =
Y(t)-YeŶ یعنی ŶY(t)=Ye+ بنابراین داریم:
Y(t)=Ye+[Y(0)-Ye]ea(g+b-1)t
وقتی
t به‌سمت بی‌نهایت میل کند، تنها وقتی که g+b<1 باشد، Y(t) به‌سمت Ye حرکت می‌کند؛ به‌عبارتی مجموع میل نهایی به مصرف g و میل نهایی به سرمایه b، باید کمتر از یک باشد.

کاربرد پنجم (الگوی دومار)؛ تغییر در نرخ سرمایه‌گذاری، بر تقاضای کل و ظرفیت تولیدی یک اقتصاد تأثیر می‌گذارد. مدل دومار در جستجوی یافتن مسیری زمانی است؛ که در طول آن، یک اقتصاد، در حالی‌که به بهره‌برداری کامل از ظرفیت تولیدی خود ادامه دهد، بتواند رشد نماید. دومار می‌گوید: سرمایه‌گذاری ظرفیت تولید را افزایش می‌دهد و برای اینکه از ظرفیت، به‌طور کامل بهره‌برداری شود، افزایش (بالقوه) در تولید، سبب افزایش ظرفیّت تولیدی باید کاملا در افزایش تقاضای کل جذب شود.[10] تابع سرمایه‌گذاری برای رسیدن به رشد مطلوب را در صورتی‌که میل نهایی به پس‌انداز و نسبت نهایی سرمایه به محصول ثابت باشند؛ به‌دست می‌آوریم:
s(t)=ay(t)

s(t)=I(t)
y(0)=y0
a>0,b>0
در این الگو،
s پس‌انداز، I سرمایه‌گذاری و y درآمد، متغیرهایی درون‌زا و تابعی از زمان هستند و a و b برون‌زا هستند و y0 شرط اولیه است.[11]

با تفکیک متغیرها و انتگرال‌گیری داریم:


مشاهده می‌شود که سرمایه‌گذاری در هر زمان همواره بایداز نرخ (
a/b)رشدی معادل درصد برخوردار باشد.[12]

کاربرد ششم (الگوی رشد سولو)؛ «سولو نشان‌دهنده آثاری است که پس‌انداز، رشد جمعیت و پیشرفت تکنولوژی در طول زمان روند تولید دارند.»[13] مسیرهای رشد تعادل را در زمانی‌که از سرمایه و نیروی کار به‌طور کامل استفاده می‌کند، بررسی می‌کند؛ که دارای فروض زیر است:
«اولا؛ فرض می‌کنیم تابع تولید
y=f(K,L) تابعی همگن خطی باشد؛ پس نسبت بازده نسبت به مقیاس ثابت است. K سرمایه و L نیروی کار است. ثانیا؛ فرض می‌کنیم که به‌اندازه نسبت ثابت s از مقدار تولید، پس‌انداز و سرمایه‌گذاری می‌شود و داریم:

ثالثا؛ فرض می کنیم نیروی کار با نرخ ثابت
r رشد می‌کند: L=L0ert.[14]
اگر در تابع تولید مقدار بگذاریم، داریم:

معادله فوق مسیر زمانی تشکیل سرمایه،
dK/dt را توضیح می‌دهد؛ اگر فرض کنیم z=K/L پس داریم:

از طرفین نسبت به
t مشتق می گیریم:

از تساوی رابطه (1) و (2) داریم:

تابع
f در رابطه فوق، یک تابع همگن خطی است. با توجه به این‌که تابع f(K,L) را می‌توان بدین صورت نوشت:

پس از رابطه فوق در (3)، مقدار می‌گذاریم، داریم:

پس داریم:

از حل این معادله دیفرانسیل، مسیر زمانی
z=K/Lبرحسب r و s که برابر نرخ پس‌انداز است به‌دست می‌آید.»

نظرات() 


برچسب ها: کاربردهای معادلات دیفرانسیل در اقتصاد ،
Palma
جمعه 17 آذر 1396 10:42 ب.ظ
Hey! I know this is somewhat off topic but I was wondering which
blog platform are you using for this site? I'm getting sick and tired of Wordpress because I've had issues with
hackers and I'm looking at alternatives for another platform.
I would be awesome if you could point me in the direction of a good platform.
free Nintendo Switch
سه شنبه 7 آذر 1396 07:08 ب.ظ
آیا می توانم به سادگی می گویم که امیدوار است کسی را کشف کند
چه کسی واقعا می داند که در اینترنت صحبت می کنند؟
شما مطمئنا درک می کنید که چگونه یک مشکل را برای نور ایجاد کنید
مهم آن است مردم بیشتر باید این را بخوانند و این قسمت داستان شما را درک کنند.
من شگفت زده شدم که شما از آنجایی که شما مطمئنا آن را دارید، محبوبیت بیشتری ندارید
هدیه.
ask psychic question
چهارشنبه 10 آبان 1396 07:01 ب.ظ
سلام از کارولینای! من تصمیم گرفتم که در کار خسته شوم
برای مرور وب سایت شما در آیفون من در طول ناهار. من عاشق
دانش شما را در اینجا ارائه می دهم و نمی توانم منتظر بمانم وقتی که من به خانه بروم.
من از اینکه وبلاگ شما را به چه میزان بارگذاری کردم، ترسیدم
تلفن همراه.. من حتی با استفاده از WIFI، فقط 3G.. به هر حال، سایت عالی!
How much can you grow from stretching?
یکشنبه 26 شهریور 1396 06:43 ب.ظ
Thank you, I have just been looking for information about this subject for ages and yours is the
greatest I've found out so far. However, what in regards to the conclusion? Are you sure about the source?
valeria9parks33.page.tl
شنبه 14 مرداد 1396 02:10 ب.ظ
Pretty nice post. I just stumbled upon your blog and wanted to say that I've truly enjoyed browsing your
blog posts. After all I will be subscribing to your rss feed and I hope you write
again very soon!
Cierra
دوشنبه 25 اردیبهشت 1396 03:50 ب.ظ
Hi! I simply would like to give you a huge thumbs up for your great information you've got here on this post.
I will be returning to your web site for more soon.
BHW
سه شنبه 29 فروردین 1396 05:52 ب.ظ
You really make it seem so easy with your presentation but
I find this matter to be really something that I think I would never understand.
It seems too complicated and very broad for me.
I am looking forward for your next post, I will try
to get the hang of it!
manicure
سه شنبه 22 فروردین 1396 08:32 ب.ظ
Wow, this post is good, my sister is analyzing these kinds of things, thus I am going to tell
her.
حساب دیفرانسیل و انتگرال؛ بخش دوم
دوشنبه 21 اردیبهشت 1394 10:33 ق.ظ
دانلود کتاب حساب دیفرانسیل و انتگران؛ بخش دوم
http://booktolearn.com/?p=2612
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر