تبلیغات
اقتصاد بازرگانی - کاربردهای معادلات دیفرانسیل در اقتصاد
پنجشنبه 11 فروردین 1390

کاربردهای معادلات دیفرانسیل در اقتصاد

• نوشته شده توسط: ئاسو

کاربردهای معادلات دیفرانسیل در اقتصاد
معادلات دیفرانسیل در بسیاری از توابع اقتصادی کاربرد دارند. این معادلات در تعیین شرایط پایداری پویا برای تعادل بازار در مدل‌های اقتصاد خرد و نیز ردیابی مسیر زمانی تحت شرایط مختلف در اقتصاد کلان مورد استفاده قرار می‌گیرند. اگر نرخ رشد یک تابع مفروض باشد، اقتصاددانان قادرند، با استفاده از معادلات دیفرانسیل تابع مورد نظر را تعیین کنند. همچنین اگر کشش نقطه‌ای در دست باشد، می‌توان تابع تقاضا را برآورد کرد؛ معادلات دیفرانسیل، جهت برآورد توابع سرمایه از توابع سرمایه‌گذاری و همچنین برآورد توابع هزینه کل و درآمد کل از توابع هزینه نهایی و درآمد نهایی مورد استفاده قرار می‌گیرد.[4]
در این مدخل به شش کاربرد متمایز از معادلات در بخش‌های مختلف اقتصاد پرداخته‌ایم؛ گرچه ممکن است از یک راه حل در برخی کاربردها استفاده شده باشد. هدف از آوردن کاربردهای مختلف بیان اهمیت دیفرانسیل و گستره استفاده از آن در اقتصاد بوده است.


معادله فوق، به‌صورت یکی از معادلات خطی در آمده‌ است؛ لذا بر اساس روش حل معادله مورد نظر در ریاضی به حل آن می‌پردازیم. این معادله به روش معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول حل می‌گردد؛ که روش آن بدین صورت است:

صورت کلی معادله خطی مرتبه اول بدین صورت است:

اگر t=0 باشد، معادله به‌صورت زیر درمی‌آید:


چون
m مقداری ثابت و بزرگتر از صفر است، وقتی t به‌سمت بی‌نهایت میل می‌کند، تنها در صورتی‌که h-b>0 باشد، اولین جمله سمت راست، به‌سمت صفر میل می‌کند؛ بنابراین p(t) به‌سمت میل می‌کند. برای حالت‌های عادی که تقاضا دارای شیب منفی b<0 و عرضه دارای شیب مثبت h>0 است، شرایط پایداری پویا قابل حصول است. بازارهایی که در آن شیب توابع تقاضا مثبت یا شیب توابع عرضه منفی باشند، مادامی که h>0 است نیز به‌‌طور پویا پایدارند.[5]
مثلا؛ با فرض اینکه تقاضا برابر
D=80-4 و عرضه برابر با S=-10+2p باشند، نقطه تعادل را مشخص کنید و با فرض p0=18 و q0=8 تحقیق کنید که آیا تعادل پایدار است یا نه؟[6]

چون تقاضا دارای شیب منفی
b<0 یعنی b=-4 و عرضه دارای شیب مثبت h>0 یعنی h=2 است، شرایط پایداری پویا قابل حصول است.

کاربرد دوم؛ تابع تقاضای
Q=f(p) را در صورتی‌که کشش نقطه‌ای (e) برای همه p>0 برابر -k باشد؛ به‌دست آورید.
حل: می‌دانیم، کشش نقطه‌ای تقاضا برابر است با:

معادله فوق نیز به‌صورت یکی از معادلات خطی درآمده است؛ لذا براساس روش حل معادله مورد نظر در ریاضی به حل آن می‌پردازیم. این معادله دیفرانسیل، یک معادله دیفرانسیل جداست؛ با تفکیک متغیرها، آن‌را به‌صورت زیر می‌نویسیم:[7]

مثال عددی: تابع تقاضای
Q=f(p) را در صورتی‌که کشش نقطه‌ای تقاضا باشد و از نقطه p=2 و q=4 بگذرد.


شکل تابع یک هذلولی متساوی‌الساقین است. (نقطه چین در شکل به‌معنی منطقه غیر اقتصادی است).


کاربرد سوم؛ فرمولی برای محاسبه کل ارزش
p مبلغ وجه اولیه p(0) که به مدت t سال با نرخ بهره مرکب پیوسته i به مرابحه گذاشته شده است به این صورت به‌دست می‌آید:[8]

اگر
i برابر بهره مرکب پیوسته باشد،

کاربرد چهارم؛ شرایط پایداری یک مدل تعیین درآمد دو بخشی، که در آن
Ŷ، Î و Ĉ، به‌ترتیب انحراف مصرف، سرمایه‌گذاری و درآمد از مقادیر تعادلی Ye، Ieو Ce است را به‌دست می‌آوریم؛[9] یعنی =C(t)-CeĈ که در آن Ĉ (سی‌هت)، درآمد با نرخ متناسب با مازاد تقاضا C+I+Y تغییر می‌کند:

و نیز 0<
a,b,g<1 و (t)=bŶÎ و (t)=gŶĈ

با تفکیک متغیرها و انتگرال‌گیری داریم:

چون =
Y(t)-YeŶ یعنی ŶY(t)=Ye+ بنابراین داریم:
Y(t)=Ye+[Y(0)-Ye]ea(g+b-1)t
وقتی
t به‌سمت بی‌نهایت میل کند، تنها وقتی که g+b<1 باشد، Y(t) به‌سمت Ye حرکت می‌کند؛ به‌عبارتی مجموع میل نهایی به مصرف g و میل نهایی به سرمایه b، باید کمتر از یک باشد.

کاربرد پنجم (الگوی دومار)؛ تغییر در نرخ سرمایه‌گذاری، بر تقاضای کل و ظرفیت تولیدی یک اقتصاد تأثیر می‌گذارد. مدل دومار در جستجوی یافتن مسیری زمانی است؛ که در طول آن، یک اقتصاد، در حالی‌که به بهره‌برداری کامل از ظرفیت تولیدی خود ادامه دهد، بتواند رشد نماید. دومار می‌گوید: سرمایه‌گذاری ظرفیت تولید را افزایش می‌دهد و برای اینکه از ظرفیت، به‌طور کامل بهره‌برداری شود، افزایش (بالقوه) در تولید، سبب افزایش ظرفیّت تولیدی باید کاملا در افزایش تقاضای کل جذب شود.[10] تابع سرمایه‌گذاری برای رسیدن به رشد مطلوب را در صورتی‌که میل نهایی به پس‌انداز و نسبت نهایی سرمایه به محصول ثابت باشند؛ به‌دست می‌آوریم:
s(t)=ay(t)

s(t)=I(t)
y(0)=y0
a>0,b>0
در این الگو،
s پس‌انداز، I سرمایه‌گذاری و y درآمد، متغیرهایی درون‌زا و تابعی از زمان هستند و a و b برون‌زا هستند و y0 شرط اولیه است.[11]

با تفکیک متغیرها و انتگرال‌گیری داریم:


مشاهده می‌شود که سرمایه‌گذاری در هر زمان همواره بایداز نرخ (
a/b)رشدی معادل درصد برخوردار باشد.[12]

کاربرد ششم (الگوی رشد سولو)؛ «سولو نشان‌دهنده آثاری است که پس‌انداز، رشد جمعیت و پیشرفت تکنولوژی در طول زمان روند تولید دارند.»[13] مسیرهای رشد تعادل را در زمانی‌که از سرمایه و نیروی کار به‌طور کامل استفاده می‌کند، بررسی می‌کند؛ که دارای فروض زیر است:
«اولا؛ فرض می‌کنیم تابع تولید
y=f(K,L) تابعی همگن خطی باشد؛ پس نسبت بازده نسبت به مقیاس ثابت است. K سرمایه و L نیروی کار است. ثانیا؛ فرض می‌کنیم که به‌اندازه نسبت ثابت s از مقدار تولید، پس‌انداز و سرمایه‌گذاری می‌شود و داریم:

ثالثا؛ فرض می کنیم نیروی کار با نرخ ثابت
r رشد می‌کند: L=L0ert.[14]
اگر در تابع تولید مقدار بگذاریم، داریم:

معادله فوق مسیر زمانی تشکیل سرمایه،
dK/dt را توضیح می‌دهد؛ اگر فرض کنیم z=K/L پس داریم:

از طرفین نسبت به
t مشتق می گیریم:

از تساوی رابطه (1) و (2) داریم:

تابع
f در رابطه فوق، یک تابع همگن خطی است. با توجه به این‌که تابع f(K,L) را می‌توان بدین صورت نوشت:

پس از رابطه فوق در (3)، مقدار می‌گذاریم، داریم:

پس داریم:

از حل این معادله دیفرانسیل، مسیر زمانی
z=K/Lبرحسب r و s که برابر نرخ پس‌انداز است به‌دست می‌آید.»

نظرات() 


برچسب ها: کاربردهای معادلات دیفرانسیل در اقتصاد ،
buy generic cialis pills
جمعه 16 آذر 1397 11:43 ق.ظ

Many thanks. Fantastic information.
cialis 5 mg effetti collateral buying cialis overnight preis cialis 20mg schweiz cialis usa cost generic for cialis cialis 5 mg cialis 30 day sample how to buy cialis online usa cialis 5 mg effetti collateral callus
Cialis online
پنجشنبه 15 آذر 1397 04:33 ب.ظ

Effectively spoken without a doubt. .
buy cialis online cialis reviews cialis qualitat order a sample of cialis generic cialis at the pharmacy cialis canadian drugs best generic drugs cialis cialis generique 5 mg online cialis cialis price in bangalore
buy cialis usa
چهارشنبه 14 آذر 1397 08:46 ب.ظ

You actually explained it really well!
click here cialis daily uk cialis pills in singapore cialis generico free generic cialis generic low dose cialis cialis side effects dangers tarif cialis france cialis cost when will generic cialis be available we choice cialis uk
buy cheap cialis on line
چهارشنبه 14 آذر 1397 06:26 ق.ظ

You said this wonderfully!
cialis taglich generic cialis soft gels prix cialis once a da prices on cialis 10 mg cialis kaufen wo cialis 20mg prix en pharmacie cialis coupon cialis pills price each achat cialis en europe cialis 20mg preis cf
Generic cialis
سه شنبه 13 آذر 1397 07:59 ق.ظ

Thank you, Awesome information.
cialis daily dose generic cialis generico en mexico online prescriptions cialis ou trouver cialis sur le net cialis uk next day cialis 30 day sample no prescription cialis cheap cialis 20 mg cost what is cialis cialis alternative
Cialis pills
دوشنبه 12 آذر 1397 08:04 ب.ظ

Nicely put, With thanks!
cialis for sale tadalafil tablets cialis baratos compran uk miglior cialis generico 40 mg cialis what if i take generic cialis pro cialis preise schweiz cialis tadalafil sialis venta de cialis canada
buy cials online
دوشنبه 12 آذر 1397 07:37 ق.ظ

You've made your stand pretty well!!
cialis billig cialis cuantos mg hay cuanto cuesta cialis yaho cialis with 2 days delivery cialis for bph safe site to buy cialis online click now cialis from canada buy brand cialis cheap cialis savings card cialis e hiv
Cialis pills
یکشنبه 11 آذر 1397 07:35 ب.ظ

You actually said this wonderfully.
how much does a cialis cost cialis generique 5 mg cialis online deutschland cialis online nederland generic cialis pill online cialis canada on line prezzo di cialis in bulgaria cialis pas cher paris buy cheap cialis in uk cialis herbs
buy generic cialis online
یکشنبه 11 آذر 1397 07:05 ق.ظ

You revealed that well!
online cialis cialis 5 mg how does cialis work precios de cialis generico cialis generico cialis from canada 40 mg cialis what if i take cialis generic availability cialis 5 mg buy cialis 5 mg para diabeticos
Cialis 20 mg
شنبه 10 آذر 1397 07:51 ب.ظ

Appreciate it. Quite a lot of facts!

cialis 5 mg para diabeticos cialis 20 mg best price cialis coupons printable where cheapest cialis cialis 5 mg funziona precios cialis peru cialis diario compra il cialis quanto costa cialis tablets cialis canada
buy cialis pills
شنبه 10 آذر 1397 06:43 ق.ظ

Information effectively taken!.
prix cialis once a da cialis 20 mg cialis professional yohimbe cialis super acti walgreens price for cialis free generic cialis cialis para que sirve enter site very cheap cialis buy cialis cheap 10 mg cialis therapie
buy cialis
جمعه 9 آذر 1397 07:26 ب.ظ

Thanks! Useful stuff.
generic cialis review uk cialis ahumada usa cialis online cialis flussig cialis 10 doctissimo rezeptfrei cialis apotheke price cialis per pill cialis para que sirve generic cialis 20mg uk weblink price cialis
buy cialis with no prescription
جمعه 9 آذر 1397 07:39 ق.ظ

Fantastic write ups. Many thanks!
the best choice cialis woman cialis 200 dollar savings card low cost cialis 20mg buying cialis on internet we choice cialis uk walgreens price for cialis link for you cialis price rezeptfrei cialis apotheke cialis rezeptfrei sterreich cialis rckenschmerzen
Cialis pills
پنجشنبه 8 آذر 1397 08:28 ب.ظ

You actually said this adequately!
buy online cialis 5mg cialis generic fast cialis online cialis mit grapefruitsaft cialis dosage recommendations we use it cialis online store cialis patent expiration cialis therapie cialis prezzo in linea basso wow cialis tadalafil 100mg
Cialis 20 mg
پنجشنبه 8 آذر 1397 08:49 ق.ظ

Wow a good deal of terrific information.
estudios de cialis genricos cialis coupon ou trouver cialis sur le net best generic drugs cialis cialis 100mg suppliers cialis generico lilly cialis baratos compran uk viagra or cialis wow look it cialis mexico viagra vs cialis vs levitra
buy cheap cialis in canada
چهارشنبه 7 آذر 1397 08:15 ق.ظ

You expressed it terrifically.
cialis 5 mg scheda tecnica cialis online deutschland discount cialis cialis online cialis australia org cialis lilly tadalafi cialis 05 only here cialis pills the best choice cialis woman look here cialis order on line
buy tadalafil no prescription
چهارشنبه 11 مهر 1397 08:16 ق.ظ

Beneficial stuff. With thanks!
we choice free trial of cialis we like it cialis soft gel we choice cialis uk bulk cialis tadalafil generic brand cialis nl cialis usa cost cialis soft tabs for sale generic cialis pro tadalafil tablets
Cialis online
دوشنبه 9 مهر 1397 06:41 ق.ظ

You said this really well!
cialis kamagra levitra cialis en 24 hora we like it safe cheap cialis cialis 5mg prix generic cialis 20mg tablets canadian cialis we use it cialis online store tadalafil no prescription cialis cheap cialis dose 30mg
canadian prescriptions online
یکشنبه 1 مهر 1397 07:53 ق.ظ

Superb stuff. With thanks!
northwest pharmacies online pharmacy times canadian pharmacycanadian pharmacy drugstore online reviews canadian pharmaceuticals for usa sales online drug store canadian medications by mail canadian pharmacy cialis most reliable canadian pharmacies canadian online pharmacies rated
cialisvipsale.com
چهارشنبه 28 شهریور 1397 04:49 ق.ظ

Thank you! Lots of stuff!

we choice free trial of cialis cialis cuantos mg hay cialis 5mg prix brand cialis generic cialis prices in england purchasing cialis on the internet generic for cialis cialis 50 mg soft tab buy brand cialis cheap generic cialis pill online
http://cialisvipsale.com/
پنجشنبه 15 شهریور 1397 08:11 ب.ظ

This is nicely said! .
cialis pills in singapore pastillas cialis y alcoho cialis free trial buy cialis cheap 10 mg can i take cialis and ecstasy cialis 10mg prix pharmaci buy online cialis 5mg click here cialis daily uk cialis cipla best buy only best offers 100mg cialis
canadianpharmacytousa.com
چهارشنبه 14 شهریور 1397 12:43 ب.ظ

Very well expressed certainly! .
canadian pharmacy viagra brand buy viagrow canadian pharmacies online prescriptions canadianpharmacyusa24h canadian government approved pharmacies online drug store drugstore online india canadian online pharmacies rated cialis canadian pharmacy order canadian prescriptions online
viagra prices
سه شنبه 13 شهریور 1397 02:36 ب.ظ

Incredible plenty of great info!
can you buy viagra without a prescription viagra to buy online buy generic viagra australia where can i buy viagra to buy viagra where can i buy the cheapest viagra buy viagra pharmacy how much is viagra generic viagra buy online sildenafil generic uk
http://cialisb.com/
دوشنبه 12 شهریور 1397 12:06 ب.ظ

Thank you, Loads of info.

order generic cialis online cialis baratos compran uk cialis baratos compran uk cialis super acti cialis side effects dangers cialis in sconto india cialis 100mg cost cialis soft tabs for sale cialis sans ordonnance cialis en 24 hora
http://cialisbuys.com/
یکشنبه 11 شهریور 1397 08:04 ب.ظ

Wow quite a lot of superb information.
cialis e hiv cialis generika in deutschland kaufen purchasing cialis on the internet cialis wir preise cialis prices in england cialis free trial american pharmacy cialis free cialis how does cialis work wow look it cialis mexico
viabiovit.com/viagra-online-ohne-rezept-gunstig.html
سه شنبه 23 مرداد 1397 07:57 ق.ظ

Thanks. Lots of facts.

cheap online viagra viagra cheap online cheap viagra buy viagra nz natural viagra viagra buy viagra pharmacy online viagra best buy for viagra buy female viagra uk order cheap viagra online pharmacy prices for viagra
Cialis prices
دوشنبه 22 مرداد 1397 11:35 ب.ظ

Many thanks. I enjoy this.
generic cialis at the pharmacy rezeptfrei cialis apotheke generic cialis 20mg tablets cialis name brand cheap cialis australia org purchase once a day cialis cialis generika cialis official site cialis dosage amounts cialis 5mg billiger
Generic cialis
دوشنبه 7 خرداد 1397 12:26 ب.ظ

Kudos, Valuable stuff.
chinese cialis 50 mg cialis coupons printable acheter cialis meilleur pri cialis 5 mg buy wow cialis tadalafil 100mg dosagem ideal cialis warnings for cialis generic cialis at walmart cialis generico online how do cialis pills work
Viagra vs viagra
چهارشنبه 5 اردیبهشت 1397 10:42 ق.ظ

Valuable forum posts. Thanks a lot!
how old do you have to be to buy viagra buy viagra brand online how to buy viagra without prescription buy viagra usa is sildenafil generic sildenafil pills buy viagra professional get a viagra prescription online where can i buy viagra over the counter viagra cheap no prescription
Buy cialis online
شنبه 18 فروردین 1397 07:39 ب.ظ

Incredible plenty of terrific data!
india cialis 100mg cost cialis canada cialis kaufen cialis in sconto cialis pills boards cialis for sale in europa cialis side effects dangers cipla cialis online prezzo di cialis in bulgaria how much does a cialis cost
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر
نمایش نظرات 1 تا 30