تبلیغات
اقتصاد بازرگانی - کاربردهای معادلات دیفرانسیل در اقتصاد
پنجشنبه 11 فروردین 1390

کاربردهای معادلات دیفرانسیل در اقتصاد

• نوشته شده توسط: ئاسو

کاربردهای معادلات دیفرانسیل در اقتصاد
معادلات دیفرانسیل در بسیاری از توابع اقتصادی کاربرد دارند. این معادلات در تعیین شرایط پایداری پویا برای تعادل بازار در مدل‌های اقتصاد خرد و نیز ردیابی مسیر زمانی تحت شرایط مختلف در اقتصاد کلان مورد استفاده قرار می‌گیرند. اگر نرخ رشد یک تابع مفروض باشد، اقتصاددانان قادرند، با استفاده از معادلات دیفرانسیل تابع مورد نظر را تعیین کنند. همچنین اگر کشش نقطه‌ای در دست باشد، می‌توان تابع تقاضا را برآورد کرد؛ معادلات دیفرانسیل، جهت برآورد توابع سرمایه از توابع سرمایه‌گذاری و همچنین برآورد توابع هزینه کل و درآمد کل از توابع هزینه نهایی و درآمد نهایی مورد استفاده قرار می‌گیرد.[4]
در این مدخل به شش کاربرد متمایز از معادلات در بخش‌های مختلف اقتصاد پرداخته‌ایم؛ گرچه ممکن است از یک راه حل در برخی کاربردها استفاده شده باشد. هدف از آوردن کاربردهای مختلف بیان اهمیت دیفرانسیل و گستره استفاده از آن در اقتصاد بوده است.


معادله فوق، به‌صورت یکی از معادلات خطی در آمده‌ است؛ لذا بر اساس روش حل معادله مورد نظر در ریاضی به حل آن می‌پردازیم. این معادله به روش معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول حل می‌گردد؛ که روش آن بدین صورت است:

صورت کلی معادله خطی مرتبه اول بدین صورت است:

اگر t=0 باشد، معادله به‌صورت زیر درمی‌آید:


چون
m مقداری ثابت و بزرگتر از صفر است، وقتی t به‌سمت بی‌نهایت میل می‌کند، تنها در صورتی‌که h-b>0 باشد، اولین جمله سمت راست، به‌سمت صفر میل می‌کند؛ بنابراین p(t) به‌سمت میل می‌کند. برای حالت‌های عادی که تقاضا دارای شیب منفی b<0 و عرضه دارای شیب مثبت h>0 است، شرایط پایداری پویا قابل حصول است. بازارهایی که در آن شیب توابع تقاضا مثبت یا شیب توابع عرضه منفی باشند، مادامی که h>0 است نیز به‌‌طور پویا پایدارند.[5]
مثلا؛ با فرض اینکه تقاضا برابر
D=80-4 و عرضه برابر با S=-10+2p باشند، نقطه تعادل را مشخص کنید و با فرض p0=18 و q0=8 تحقیق کنید که آیا تعادل پایدار است یا نه؟[6]

چون تقاضا دارای شیب منفی
b<0 یعنی b=-4 و عرضه دارای شیب مثبت h>0 یعنی h=2 است، شرایط پایداری پویا قابل حصول است.

کاربرد دوم؛ تابع تقاضای
Q=f(p) را در صورتی‌که کشش نقطه‌ای (e) برای همه p>0 برابر -k باشد؛ به‌دست آورید.
حل: می‌دانیم، کشش نقطه‌ای تقاضا برابر است با:

معادله فوق نیز به‌صورت یکی از معادلات خطی درآمده است؛ لذا براساس روش حل معادله مورد نظر در ریاضی به حل آن می‌پردازیم. این معادله دیفرانسیل، یک معادله دیفرانسیل جداست؛ با تفکیک متغیرها، آن‌را به‌صورت زیر می‌نویسیم:[7]

مثال عددی: تابع تقاضای
Q=f(p) را در صورتی‌که کشش نقطه‌ای تقاضا باشد و از نقطه p=2 و q=4 بگذرد.


شکل تابع یک هذلولی متساوی‌الساقین است. (نقطه چین در شکل به‌معنی منطقه غیر اقتصادی است).


کاربرد سوم؛ فرمولی برای محاسبه کل ارزش
p مبلغ وجه اولیه p(0) که به مدت t سال با نرخ بهره مرکب پیوسته i به مرابحه گذاشته شده است به این صورت به‌دست می‌آید:[8]

اگر
i برابر بهره مرکب پیوسته باشد،

کاربرد چهارم؛ شرایط پایداری یک مدل تعیین درآمد دو بخشی، که در آن
Ŷ، Î و Ĉ، به‌ترتیب انحراف مصرف، سرمایه‌گذاری و درآمد از مقادیر تعادلی Ye، Ieو Ce است را به‌دست می‌آوریم؛[9] یعنی =C(t)-CeĈ که در آن Ĉ (سی‌هت)، درآمد با نرخ متناسب با مازاد تقاضا C+I+Y تغییر می‌کند:

و نیز 0<
a,b,g<1 و (t)=bŶÎ و (t)=gŶĈ

با تفکیک متغیرها و انتگرال‌گیری داریم:

چون =
Y(t)-YeŶ یعنی ŶY(t)=Ye+ بنابراین داریم:
Y(t)=Ye+[Y(0)-Ye]ea(g+b-1)t
وقتی
t به‌سمت بی‌نهایت میل کند، تنها وقتی که g+b<1 باشد، Y(t) به‌سمت Ye حرکت می‌کند؛ به‌عبارتی مجموع میل نهایی به مصرف g و میل نهایی به سرمایه b، باید کمتر از یک باشد.

کاربرد پنجم (الگوی دومار)؛ تغییر در نرخ سرمایه‌گذاری، بر تقاضای کل و ظرفیت تولیدی یک اقتصاد تأثیر می‌گذارد. مدل دومار در جستجوی یافتن مسیری زمانی است؛ که در طول آن، یک اقتصاد، در حالی‌که به بهره‌برداری کامل از ظرفیت تولیدی خود ادامه دهد، بتواند رشد نماید. دومار می‌گوید: سرمایه‌گذاری ظرفیت تولید را افزایش می‌دهد و برای اینکه از ظرفیت، به‌طور کامل بهره‌برداری شود، افزایش (بالقوه) در تولید، سبب افزایش ظرفیّت تولیدی باید کاملا در افزایش تقاضای کل جذب شود.[10] تابع سرمایه‌گذاری برای رسیدن به رشد مطلوب را در صورتی‌که میل نهایی به پس‌انداز و نسبت نهایی سرمایه به محصول ثابت باشند؛ به‌دست می‌آوریم:
s(t)=ay(t)

s(t)=I(t)
y(0)=y0
a>0,b>0
در این الگو،
s پس‌انداز، I سرمایه‌گذاری و y درآمد، متغیرهایی درون‌زا و تابعی از زمان هستند و a و b برون‌زا هستند و y0 شرط اولیه است.[11]

با تفکیک متغیرها و انتگرال‌گیری داریم:


مشاهده می‌شود که سرمایه‌گذاری در هر زمان همواره بایداز نرخ (
a/b)رشدی معادل درصد برخوردار باشد.[12]

کاربرد ششم (الگوی رشد سولو)؛ «سولو نشان‌دهنده آثاری است که پس‌انداز، رشد جمعیت و پیشرفت تکنولوژی در طول زمان روند تولید دارند.»[13] مسیرهای رشد تعادل را در زمانی‌که از سرمایه و نیروی کار به‌طور کامل استفاده می‌کند، بررسی می‌کند؛ که دارای فروض زیر است:
«اولا؛ فرض می‌کنیم تابع تولید
y=f(K,L) تابعی همگن خطی باشد؛ پس نسبت بازده نسبت به مقیاس ثابت است. K سرمایه و L نیروی کار است. ثانیا؛ فرض می‌کنیم که به‌اندازه نسبت ثابت s از مقدار تولید، پس‌انداز و سرمایه‌گذاری می‌شود و داریم:

ثالثا؛ فرض می کنیم نیروی کار با نرخ ثابت
r رشد می‌کند: L=L0ert.[14]
اگر در تابع تولید مقدار بگذاریم، داریم:

معادله فوق مسیر زمانی تشکیل سرمایه،
dK/dt را توضیح می‌دهد؛ اگر فرض کنیم z=K/L پس داریم:

از طرفین نسبت به
t مشتق می گیریم:

از تساوی رابطه (1) و (2) داریم:

تابع
f در رابطه فوق، یک تابع همگن خطی است. با توجه به این‌که تابع f(K,L) را می‌توان بدین صورت نوشت:

پس از رابطه فوق در (3)، مقدار می‌گذاریم، داریم:

پس داریم:

از حل این معادله دیفرانسیل، مسیر زمانی
z=K/Lبرحسب r و s که برابر نرخ پس‌انداز است به‌دست می‌آید.»

نظرات() 


برچسب ها: کاربردهای معادلات دیفرانسیل در اقتصاد ،
Cialis pills
یکشنبه 2 تیر 1398 11:44 ب.ظ

You made your stand quite effectively..
cialis sale online cialis prices in england acquistare cialis internet generic cialis at walmart only here cialis pills cialis sans ordonnance cialis italia gratis canada discount drugs cialis prezzo di cialis in bulgaria cialis australia org
average cost of cialis prescription
یکشنبه 2 تیر 1398 08:12 ق.ظ

Incredible tons of awesome data!
buying cialis overnight tesco price cialis cialis pills in singapore legalidad de comprar cialis low dose cialis blood pressure costo in farmacia cialis cialis 5 effetti collaterali enter site 20 mg cialis cost generico cialis mexico cialis side effects dangers
http://avxabo.strikingly.com/
شنبه 1 تیر 1398 05:13 ب.ظ

Wonderful data. Appreciate it.
free cialis cialis 5 mg effetti collateral cialis coupons printable cialis price thailand 5 mg cialis coupon printable cialis 20 mg effectiveness cialis 100mg suppliers buy cialis online buying cialis overnight safe site to buy cialis online
Cialis 20 mg
جمعه 31 خرداد 1398 08:11 ق.ظ

You actually said that superbly!
cialis pills pastillas cialis y alcoho online prescriptions cialis cialis 10mg prix pharmaci cialis online deutschland cialis 5mg cialis 5 mg funziona cialis for daily use cialis cost overnight cialis tadalafil
http://longhandpo.strikingly.com/
پنجشنبه 30 خرداد 1398 03:19 ب.ظ

Awesome information, Regards.
cialis generika order generic cialis online cialis pas cher paris cialis from canada the best choice cialis woman click now buy cialis brand tadalafil 20mg price cialis per pill enter site very cheap cialis buy online cialis 5mg
we choice free trial of cialis
چهارشنبه 29 خرداد 1398 09:14 ب.ظ

Thanks a lot. Plenty of content.

cialis online holland cialis without a doctor's prescription tesco price cialis cialis official site how much does a cialis cost get cheap cialis prescription doctor cialis wow cialis 20 preis cialis 20mg schweiz click now cialis from canada
http://neanpauti.strikingly.com/
چهارشنبه 29 خرداد 1398 04:52 ق.ظ

You've made your point!
dose size of cialis weblink price cialis cheap cialis viagra vs cialis cialis pills in singapore cialis canada on line dose size of cialis when will generic cialis be available generic cialis levitra cialis therapie
buy viagra an cialis online
سه شنبه 28 خرداد 1398 06:12 ق.ظ

Fine data. Thanks.
price cialis wal mart pharmacy we recommend cheapest cialis cialis side effects dangers cialis reviews cialis 5 mg cialis herbs cialis 30 day sample cialis farmacias guadalajara cialis uk 5 mg cialis pharmacie en ligne
http://drosdilo.strikingly.com/
دوشنبه 27 خرداد 1398 12:44 ق.ظ

Regards. Terrific information.
cialis for daily use pastillas cialis y alcoho cialis pills cialis 20mg preis cf cialis diario compra we like it safe cheap cialis cialis 05 cialis cipla best buy miglior cialis generico purchasing cialis on the internet
Cialis pills
شنبه 25 خرداد 1398 09:02 ب.ظ

Cheers! Numerous posts.

achat cialis en itali cialis tablets cialis australian price sublingual cialis online we like it cialis price cialis cuantos mg hay acquistare cialis internet buy brand cialis cheap cialis alternative cialis usa cost
Cialis online
شنبه 25 خرداد 1398 06:58 ق.ظ

Really tons of great data.
cialis cipla best buy venta de cialis canada overnight cialis tadalafil we use it cialis online store cialis arginine interactio online cialis tadalafilo sublingual cialis online cialis online nederland american pharmacy cialis
http://tiederlou.strikingly.com/
جمعه 24 خرداد 1398 04:51 ب.ظ

Many thanks, A good amount of posts.

price cialis wal mart pharmacy acquistare cialis internet cialis 5 mg cialis tablets for sale cialis professional yohimbe cialis dosage miglior cialis generico cialis daily new zealand only now cialis 20 mg where do you buy cialis
Cialis 20 mg
جمعه 24 خرداد 1398 02:13 ق.ظ

Wonderful facts. Kudos.
canadian cialis what is cialis generic cialis pro fast cialis online tadalafil 20mg when will generic cialis be available cialis tadalafil online rezeptfrei cialis apotheke wow cialis 20 opinioni cialis generico
how many mg of cialis should i take
پنجشنبه 23 خرداد 1398 12:35 ب.ظ

Incredible many of superb material!
dosagem ideal cialis deutschland cialis online purchasing cialis on the internet cialis online can i take cialis and ecstasy cialis canadian drugs tesco price cialis cialis online deutschland cost of cialis cvs free generic cialis
http://halvebilt.strikingly.com/
چهارشنبه 22 خرداد 1398 10:35 ب.ظ

This is nicely expressed. .
we like it cialis soft gel comprar cialis navarr cialis generico milano usa cialis online cialis 30 day trial coupon dose size of cialis legalidad de comprar cialis cialis generic availability cialis prezzo di mercato cialis canadian drugs
http://cialisvie.com/
دوشنبه 20 خرداد 1398 11:59 ب.ظ

Amazing postings. Cheers.
cialis online tarif cialis france cialis et insomni buy brand cialis cheap cialis diario compra cialis per paypa weblink price cialis price cialis wal mart pharmacy canada discount drugs cialis the best site cialis tablets
http://cialisvie.com/
یکشنبه 19 خرداد 1398 06:14 ب.ظ

You actually reported it wonderfully.
how do cialis pills work usa cialis online generic cialis in vietnam cialis online cialis online napol buy cialis online nz canadian discount cialis enter site 20 mg cialis cost wow cialis tadalafil 100mg cialis 5 mg schweiz
http://cialisvie.com/
شنبه 18 خرداد 1398 12:50 ب.ظ

Appreciate it, A good amount of forum posts!

cialis dosage cialis cipla best buy legalidad de comprar cialis cialis pills boards i recommend cialis generico cialis pills boards cialis dosage amounts enter site natural cialis cialis 30 day trial coupon click here take cialis
http://ukcanadianpharmacy.com/
شنبه 24 فروردین 1398 07:03 ق.ظ

Awesome facts. Thanks.
drugs for sale in uk canada drugs legitimate canadian mail order pharmacies online pharmacies mexico drugs for sale in uk pharmacy near me canadian pharmaceuticals stocks legitimate canadian mail order pharmacies trust pharmacy canadian drugs for sale in canada
buy generic cialis pills
جمعه 16 آذر 1397 11:43 ق.ظ

Many thanks. Fantastic information.
cialis 5 mg effetti collateral buying cialis overnight preis cialis 20mg schweiz cialis usa cost generic for cialis cialis 5 mg cialis 30 day sample how to buy cialis online usa cialis 5 mg effetti collateral callus
Cialis online
پنجشنبه 15 آذر 1397 04:33 ب.ظ

Effectively spoken without a doubt. .
buy cialis online cialis reviews cialis qualitat order a sample of cialis generic cialis at the pharmacy cialis canadian drugs best generic drugs cialis cialis generique 5 mg online cialis cialis price in bangalore
buy cialis usa
چهارشنبه 14 آذر 1397 08:46 ب.ظ

You actually explained it really well!
click here cialis daily uk cialis pills in singapore cialis generico free generic cialis generic low dose cialis cialis side effects dangers tarif cialis france cialis cost when will generic cialis be available we choice cialis uk
buy cheap cialis on line
چهارشنبه 14 آذر 1397 06:26 ق.ظ

You said this wonderfully!
cialis taglich generic cialis soft gels prix cialis once a da prices on cialis 10 mg cialis kaufen wo cialis 20mg prix en pharmacie cialis coupon cialis pills price each achat cialis en europe cialis 20mg preis cf
Generic cialis
سه شنبه 13 آذر 1397 07:59 ق.ظ

Thank you, Awesome information.
cialis daily dose generic cialis generico en mexico online prescriptions cialis ou trouver cialis sur le net cialis uk next day cialis 30 day sample no prescription cialis cheap cialis 20 mg cost what is cialis cialis alternative
Cialis pills
دوشنبه 12 آذر 1397 08:04 ب.ظ

Nicely put, With thanks!
cialis for sale tadalafil tablets cialis baratos compran uk miglior cialis generico 40 mg cialis what if i take generic cialis pro cialis preise schweiz cialis tadalafil sialis venta de cialis canada
buy cials online
دوشنبه 12 آذر 1397 07:37 ق.ظ

You've made your stand pretty well!!
cialis billig cialis cuantos mg hay cuanto cuesta cialis yaho cialis with 2 days delivery cialis for bph safe site to buy cialis online click now cialis from canada buy brand cialis cheap cialis savings card cialis e hiv
Cialis pills
یکشنبه 11 آذر 1397 07:35 ب.ظ

You actually said this wonderfully.
how much does a cialis cost cialis generique 5 mg cialis online deutschland cialis online nederland generic cialis pill online cialis canada on line prezzo di cialis in bulgaria cialis pas cher paris buy cheap cialis in uk cialis herbs
buy generic cialis online
یکشنبه 11 آذر 1397 07:05 ق.ظ

You revealed that well!
online cialis cialis 5 mg how does cialis work precios de cialis generico cialis generico cialis from canada 40 mg cialis what if i take cialis generic availability cialis 5 mg buy cialis 5 mg para diabeticos
Cialis 20 mg
شنبه 10 آذر 1397 07:51 ب.ظ

Appreciate it. Quite a lot of facts!

cialis 5 mg para diabeticos cialis 20 mg best price cialis coupons printable where cheapest cialis cialis 5 mg funziona precios cialis peru cialis diario compra il cialis quanto costa cialis tablets cialis canada
buy cialis pills
شنبه 10 آذر 1397 06:43 ق.ظ

Information effectively taken!.
prix cialis once a da cialis 20 mg cialis professional yohimbe cialis super acti walgreens price for cialis free generic cialis cialis para que sirve enter site very cheap cialis buy cialis cheap 10 mg cialis therapie
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر
نمایش نظرات 1 تا 30